Tucker 分解

Tucker 分解把一個張量分解為一個小的核張量，再沿每個模乘以一個因子矩陣。對三階，T = G x_1 U x_2 V x_3 W，其中 G 是核，而 U、V、W 分別作用於第一、第二、第三個模（記號 x_n 表示把核沿模 n 乘以那個矩陣）。它是 SVD 的 T = U*Sigma*V^T 的多重線性類比，只是用一個滿核取代了對角矩陣。

可把因子矩陣想成為每個模選取一組更好的、更低維的基，把核想成在這些新基下表達出來的那個張量。若 U、V、W 各有 r1、r2、r3 行，則核僅為 r1 列 r2 行 r3 路，遠小於原張量。列表 (r1, r2, r3) 是多重線性秩——三個矩陣展開的秩——而與 CP 秩不同，它易於計算。

標準做法是高階 SVD（HOSVD）：對每個模的展開做一次普通 SVD，留下排在前面的奇異向量作為因子矩陣，再通過投影形成核。截斷這些奇異向量給出極佳的壓縮，它雖非可證明最優的 Tucker 逼近，卻帶有乾淨的擬最優界。

它與 CP 如何關聯？CP 強制核為對角（僅超對角元非零），使其簡約且本質唯一，但僵硬且困難。Tucker 允許一個滿的、稠密的核，使其靈活、穩定、易算，但不唯一（你可以旋轉因子矩陣並反向旋轉核）。用 CP 去尋找可解釋的因子；用 Tucker 去壓縮與去噪。