CP 分解

CP（典範多元）分解把一個張量寫成若干簡單的、秩 1 張量之和：對三階張量，T = sum over r of a_r (x) b_r (x) c_r。每一項都是每個模各取一個向量的外積，而項數就是你瞄準的秩。它是奇異值分解最直接的推廣——後者把矩陣寫成若干秩 1 碎片之和 u_r*sigma_r*v_r^T。

它最引人注目的性質是本質唯一性。對矩陣，秩 1 分解極不唯一：你可以在相等奇異值之間旋轉奇異向量，或只要保持乘積不變就隨意混合各因子。對三階或更高階的張量，項數足夠少的 CP 分解在不可避免的自由度——縮放每個向量與重排各項——下唯一，Kruskal 定理給出一個精確的條件。

正是這種唯一性使 CP 成為資料分析的主力：當一個張量確實源自若干秩 1 模式之和（少數跨模作用的隱藏「因子」）時，CP 能恢復這些因子，而不受困擾矩陣因子分析的旋轉含糊性。這是盲源分離、化學計量學（螢光光譜）與潛變數模型背後的原理。

誠實的告誡。最小 CP 秩恰是那個（困難的、NP 困難的）張量秩，所以你通常是擬合一個假定的秩，而非找出真正的秩。最佳秩 r 逼近甚至可能根本不存在，因為秩 r 張量的集合不閉合（邊界秩現象），於是擬合演算法可能發散——因子範數爆炸、而其相消卻使擬合改善。用它，但要提防這些不穩定性。