張量秩

張量 T 的秩，是其和等於 T 的簡單張量的最少個數 r。對一個三階張量而言，就是分解 T = sum over k=1..r of a_k (x) b_k (x) c_k 中的最少項數。它直接推廣了如下事實：秩為 r 的矩陣是 r 個項 u_k*v_k^T 之和，每一項都是一塊秩 1 的碎片。

你對矩陣秩所信賴的一切，對三階或更高階的張量統統失效。秩可能取決於你在實數還是複數上工作：同一個實張量所需的實秩 1 項，可能多於複秩 1 項。最大秩可以超過顯然的維數界，而且秩不是下半連續的，於是一列秩 2 的張量可以收斂到一個秩 3 的張量。

最後這條失效，逼出第二個概念——邊界秩：使 T 成為秩至多為 r 的張量之極限的最小 r。邊界秩可以嚴格小於秩，它正是快速矩陣乘法演算法的主宰：削減乘法指數依賴於某個特定小張量的邊界秩。

請注意：在有理數上精確計算張量秩是 NP 困難的，即便在實數上判定它也很微妙。這是矩陣與張量之間一道真實的懸崖——對矩陣，秩離一次高斯消元只有一步之遙；對張量，秩卻躋身最難釘死的不變量之列。在你弄清指的是哪種概念之前，對任何關於三維陣列的乾淨「秩」斷言都應心存疑慮。