指標記號與愛因斯坦求和

指標記號通過張量的分量、配以帶標號的槽位來書寫張量，並區分上指標（對應向量 / 逆變槽）與下指標（對應協向量 / 協變槽）。向量是 v^i，協向量是 w_i，矩陣或 (1,1) 張量是 T^i_j，而一般的 (p,q) 張量帶 p 個上指標與 q 個下指標。指標的位置編碼了每個槽位在換基下如何變換。

愛因斯坦求和約定是一條省力規則：每當同一個指標在一項中一上一下各出現一次，你就自動對它求和，省去求和號 sigma。所以 v^i w_i 表示 sum_i v^i w_i，而 A^i_j v^j 表示 sum_j A^i_j v^j。重複的上下指標稱為啞指標（它消失）；不重複的稱為自由指標（它在結果中存留）。

這個約定不只是簡寫；它還是一種正確性檢查。一個良構的表達式必須在等式兩邊有匹配的自由指標，且每個重複指標都恰好一上一下各出現一次。若你竟對兩個上指標求和，約定便將其標記為不合法——這是一個內建的警告，提示你已暗中假設了一個度量。

這是多重線性代數的日常記帳法，也是物理學家用於相對論的語言。各種運算化為指標操作：縮並就是重複一對上下指標，張量積不過是把指標並排寫出（T^i S^j），而 Kronecker delta delta^i_j 或度量 g_ij 則是把一切黏合起來的常張量。