張量型（價）

張量的型（或價）記錄它有多少個向量槽與多少個協向量槽。一個 (p, q) 型張量以 q 個向量與 p 個協向量為輸入（或對偶地，生活在 p 個 V 與 q 個 V* 的張量積中）。數 p 計逆變槽，數 q 計協變槽，而 p + q 是階。這就是物理學分類張量的方式。

具體詞典。純量是 (0,0) 型。向量是 (1,0) 型：一個上指標 v^i。協向量或線性泛函是 (0,1) 型：一個下指標 w_j。線性算子 / 矩陣是 (1,1) 型：T^i_j，一上一下。度量（一個內積）是 (0,2) 型：g_ij，兩個下指標。逆度量是 (2,0) 型：g^ij。

這兩種槽不可互換，因為它們在換基下變換方向相反——這正是上指標與下指標之分的全部要義。逆變（上）分量按基變換的逆來變換；協變（下）分量則按基變換本身來變換。把它們混為一談是經典的錯誤來源，也是你為何不能自由地把一個上指標與一個下指標的角色相加的原因。

型是使各種運算合法的記帳法。縮並把一個上槽與一個下槽配對，從而把型從 (p,q) 降為 (p-1,q-1)。張量積把型相加：一個 (p,q) 乘以一個 (r,s) 給出 (p+r, q+s)。借助度量的升降指標，把一個上指標換成一個下指標（或反之），同時保持總階不變——在同一階內的諸型之間移動。