升降指標

升降指標是這樣一種運算：它借助一個度量（一個內積），在向量與協向量之間——在上指標與下指標之間——相互轉換，而不改變底層的幾何對象。它是「內積讓你能把 V 與其對偶 V* 典範地等同起來」這一事實在指標演算上的面孔。

降指標用度量 g_ij：由向量 v^i 造出協向量 v_j = sum_i g_ij v^i。升指標用逆度量 g^ij：由協向量 w_j 還原向量 w^i = sum_j g^ij w_j。因為 g^ij 是 g_ij 的逆，這兩個運算互相抵消，於是只要你手邊備著一個度量，就可以隨意把任何指標往上或往下滑。物理學家稱此為指標體操。

在標準正交基下，度量是單位的，g_ij = delta_ij，所以升降指標看不出任何變化：一個向量與「它的」協向量的分量在數值上相等。這恰恰是為何在第一門線性代數課裡，你從未察覺列向量與行向量是兩個不同物種的區別——標準點積一直在默默地把它們等同起來。

一旦度量不再是單位的，這個區別便轟然回歸：在彎曲空間中，在用閔可夫斯基度量的相對論裡（那裡升一個時間指標會翻轉符號），或每當你使用加權內積時。那時 v^i 與 v_i 確實不同，你必須追蹤哪個是哪個。乾淨的陳述是 Riesz 表示定理：度量提供了 V 與 V* 之間那個使升降指標定義良好的典範同構。