克羅內克積

克羅內克積 A (x) B 是把兩個線性映射的張量積實現出來的那個具體矩陣。若 A 是 m 列 n 行、B 是 p 列 q 行，則 A (x) B 是 (m*p) 列 (n*q) 行的分塊矩陣，其第 (i,j) 塊是純量 A[i,j] 乘以整個矩陣 B。它是 (x) 的座標面：選定基，算子的抽象張量積就變成這個顯式的大矩陣。

它的代數乾淨俐落，值得記牢。它是雙線性的、結合的，混合乘積按塊相乘 (A (x) B)(C (x) D) = (A*C) (x) (B*D)，轉置可分配：(A (x) B)^T = A^T (x) B^T。由混合乘積規則可得逆：(A (x) B)^-1 = A^-1 (x) B^-1，毫無意外。

譜按乘性結合。若 A 有特徵值 lambda_i、B 有特徵值 mu_j，則 A (x) B 對所有配對有特徵值 lambda_i * mu_j，奇異值也以同樣方式相乘。這是 dim(V (x) W) = dim V * dim W 這一事實在矩陣上的影子，也解釋了為何克羅內克結構能讓龐大問題變得可處理。

它的主力恆等式把矩陣與向量聯繫起來：vec(A*X*B) = (B^T (x) A) * vec(X)，其中 vec 把矩陣各行堆成一根長向量。這把線性矩陣方程 A*X + X*B = C（西爾維斯特方程）轉化為關於 vec(X) 的普通線性系統，也是控制論與數值偏微分方程求解器處理此類方程的支柱。