生存函數、密度與死亡力的關係

生存模型是同一枚硬幣的三個面：生存函數 S(x)（活過 x 歲的機率）、密度 f(x)（死亡的可能性如何分布於各年齡）、以及死亡力 mu-x（x 歲時的瞬時危險）。它們看似不同，卻描述著關於壽命的完全相同的資訊，任何一個都能換算成另外兩個。掌握這些關係，意味著你永遠不必從頭來過——你只需翻譯。

三條樸素的紐帶把它們連在一起。第一，密度是生存被侵蝕的速度：f(x) = -S'(x)，即生存曲線斜率的相反數。第二，死亡力是密度相對於仍處於風險中的倖存者之比：mu-x = f(x) / S(x)——單位時間的死亡，除以仍然活著的人群。第三，把死亡力累積起來就還原出生存：S(x) = exp(- mu 在 0 到 x 上的積分)。合起來便有 f(x) = S(x) 乘 mu-x：恰好在 x 歲死亡的機率，等於活到 x 歲的機率乘上在那裡死亡的強度。

這些換算是生存分析每天使用的語法。一項醫學研究可能直接從資料估出風險率，再需要生存曲線來報告五年生存率；精算師則可能從一張列表的生存函數出發，反推出死亡力，以比較兩條死亡律。正因三者可互換，你可以挑最易建模或估計的那一個，再換算成問題所需的形式。