機率質量函數與機率密度函數

一旦你有了隨機變數，就需要一種方式來說明機率是如何分布在它各個可能取值上的。對於離散變數，這就是機率質量函數（PMF）：它直接給出每一個取值的機率，例如「P(X = 0) = 0.9，P(X = 1) = 0.09，…」。對於連續變數，則是機率密度函數（PDF），一條平滑曲線，其高度顯示取值聚集在何處，而提供機率的是面積——不是高度。

機率質量函數常寫作 p(x) 或 f(x)，它為每個取值給出一個誠實的機率，所有這些機率相加為 1。機率密度函數寫作 f(x)，則更微妙：它在某一點的取值不是機率，而是密度（每單位 x 的機率）。要得到真正的機率，你要取曲線在兩點之間所圍的面積，而整條曲線下方的總面積為 1。密度在某些地方可以超過 1——這沒關係，因為它是一個速率，而非機率；只有它累積出的面積上限才被鎖定為 1。曲線在何處高聳，取值就更可能落在附近。

這兩個函數是精算師所用每一種分布的工作描述。鐘形的常態分布密度、對數常態嚴重度密度長長的右尾、卜瓦松理賠次數尖刺狀的質量函數——每一個都是風險集中在何處的畫像。讀懂密度曲線的形狀，你一眼就能看出損失是緊密聚集還是容易出現罕見的巨災，而這恰恰是定價與資本決策所仰仗的資訊。