離散分布與連續分布

有些量是一塊一塊、可以數清的；另一些量則可以在一條平滑的標尺上取任意值。今年的理賠次數是 0、1、2 或 3——絕不會是 2.7。但一筆理賠的金額可以是 2719.43 元，或介於其間的任何數額。前一種隨機變數稱為離散型，後一種稱為連續型。你屬於哪一類型，決定了如何描述它的機率。

離散型隨機變數有一份（可能無限長的）彼此分開的可能取值清單，我們給每一個值都貼上一個真正的機率——即該值上的「機率質量」。連續型隨機變數可以在一個範圍內取任意值，這裡會發生一件奇怪的事：任何單一確切取值的機率都是零，因為可能的值有無窮多個。我們改用一條密度曲線來描述連續變數，而機率就是該曲線在某區間上方所圍的面積。所以對離散變數我們把機率相加，對連續變數我們做積分（求面積）。

精算師不斷地與兩者打交道，而且常常同時打交道。理賠頻率（發生幾次）天然是離散的——卜瓦松、二項、負二項。理賠嚴重度（金額多大）天然是連續的——對數常態、伽瑪、柏拉圖。總損失把一個離散的次數和連續的金額結合起來，這正是為什麼總損失模型要把兩者拼接在一起。選錯類型——把計數當成連續，或把平滑的損失硬塞進幾個區間——會悄無聲息地扭曲結果。