累積分布函數

你常常關心的不是某個確切取值的機率，而是「在某一水平及以下」的機率：一筆理賠不超過 10000 元的機率是多少？累積分布函數（CDF）正是回答這個問題。對任意數 x，它給出 F(x) = P(X ≤ x)，即從最低處一路累積到 x 的機率總和。它就是機率的里程表。

累積分布函數在最左端總是從 0 開始（還什麼都沒累積），在最右端攀升到 1（所有機率都已計入），並且從不下降——它只會上升或保持水平。對離散變數，它在每個可能取值處呈階梯式躍升；對連續變數，它平滑地上升。從累積分布函數中，你可以用減法讀出任意區間的機率：P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)。分位數則是把累積分布函數倒過來用——第 95 百分位是使 F(x) = 0.95 的那個值 x，也就是你只有 5% 的時間會超過的損失水平。

累積分布函數是精算師日常的查詢表。百分位數驅動著組合百分位保費和風險值（VaR）這一資本度量（即損失累積分布函數的一個高分位數）。貫穿生命年金精算的生存函數，不過就是 1 - F(x)，即活過 x 的機率。每當你問「損失保持在限額以下的機率是多少？」或「什麼水平能覆蓋 99% 的情形？」，你就是在讀累積分布函數。