立方和

與平方和不同,兩個立方之和在實數範圍內總能分解,而且它有自己固定的、值得背下來的公式。每當你看到一個完全立方加上另一個完全立方,即 a^3 + b^3,它就拆成一個二項式乘以一個三項式:a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)。

這個結構靠一段口訣很好記。二項式是兩立方根之和,(a + b)。三項式由這兩根搭成:第一個平方,減它們的積,加第二個平方。一個好用的記憶法是「SOAP」:與原式同號(這裡是 +),再相反號,再永遠為正——得到 (a + b)(a^2 - ab + b^2)。

兩點提醒。其一,三項式 a^2 - ab + b^2 在實數範圍內一般不能再分解,所以別白費力氣。其二,套公式前要確認兩項確實都是完全立方(如 8 = 2^3 或 27x^3 = (3x)^3),否則公式不適用。