平穩分佈

平穩分佈是隨機過程的歇腳點：若鏈已處於這個分佈，再走一步它仍不變。它是系統在每個狀態上長期停留的時間比例，與起點無關（對性質良好的鏈而言）。

形式上，對馬可夫矩陣 P，它是一個機率向量 pi，滿足 pi = P pi（行約定）且各分量之和為 1。故 pi 是 P 關於特徵值 1 的特徵向量。在列約定下它是左特徵向量：pi^T = pi^T P。聯立 (P - I) pi = 0 與歸一化 sum(pi) = 1 即可定出它。

存在性有保證，因為 1 永遠是隨機矩陣的特徵值。唯一性與從任意起點的收斂來自佩龍-弗羅貝尼烏斯定理：若鏈不可約（任一狀態都可從任一其他狀態到達）且非週期，則 pi 唯一，且對任意起始 p_0 有 P^k p_0 -> pi。

為何重要：平穩分佈正是 PageRank 所計算的對象，是告訴你排隊系統均衡佔用率的量，也是馬可夫鏈蒙地卡羅能奏效的原因。警示：週期鏈有平穩分佈卻永不穩定到它（一直循環），而可約鏈可能有多個平穩分佈，取決於你落入哪個陷阱。