隨機（馬可夫）矩陣

隨機矩陣編碼狀態間的隨機跳轉。每個元素都是一個機率，整行（或按慣例整列）之和為 1，因為從任一狀態出發系統總得去往某處。把一個機率向量乘以這個矩陣，就得到一步之後的機率分佈。

精確地說，一個行隨機矩陣 P 滿足 P_ij >= 0，且每一行 j 滿足對 i 求和等於 1；元素 P_ij 是從狀態 j 轉到狀態 i 的機率。分佈按 p_{k+1} = P p_k 演化，故 k 步後的分佈是 P^k p_0。馬可夫性內建其中：下一狀態只依賴當前狀態，與到達它的路徑無關。

數字 1 永遠是一個特徵值（由於各行和為 1，全一向量是左特徵向量），且每個特徵值滿足 |lambda| <= 1，這使機率保持有界。特徵值 1 對應的特徵向量是穩態的候選。當鏈不可約且非週期時，佩龍-弗羅貝尼烏斯定理使該穩態唯一且全局吸引。

為何重要：馬可夫矩陣能建模網頁瀏覽、語言、排隊、棋盤遊戲與族群遺傳學。警示在於真實系統只是近似無記憶，而週期或可約的鏈可能無法收斂到單一極限，會隨起點不同而振盪或分裂。