PageRank

PageRank 用一個想法給網頁的重要性打分：若有重要的頁面連結到某頁，則該頁就重要。設想一位衝浪者永遠隨機點擊連結；PageRank 就是長期內停留在每個頁面上的時間比例。熱門頁面，以及被熱門頁面引用的頁面，會累積造訪。

具體地，構造一個行隨機的連結矩陣，其第 j 行把頁面 j 的投票均分給它所連結的各頁面。為保證答案唯一，摻入隨機傳送：M = d * P + (1 - d) * (1/n) * J，其中 d 約為 0.85，J 是全一矩陣，1/n 是均勻跳轉。如今 M 是正的隨機矩陣，故佩龍-弗羅貝尼烏斯定理給出唯一的正主導特徵向量。

PageRank 恰是 M 的平穩分佈：特徵值 1 對應的特徵向量，等價地是 M^k 作用於任意初值的極限。實踐中用冪法計算它，迭代 r -> M r 直到穩定；即便面對數十億頁面也可行，因為 M 是稀疏矩陣加上一個秩一修正。

為何重要：PageRank 把特徵理論變成了一個搜尋帝國，同一配方能為任何可建模為圖的事物排名（引用、社交影響、道路重要性）。警示在於它可被操縱（連結農場）且不分主題，這正是現代排名要在其上疊加許多其他信號的原因。