佩龍-弗羅貝尼烏斯定理

當一個矩陣所有元素都為正時，會有一個特徵值脫穎而出：它是實的、正的，模嚴格大於其他所有特徵值，且其特徵向量可取全為正。這一主導對是唯一的。這就是佩龍-弗羅貝尼烏斯定理，也是迭代這類矩陣能把任意正初值導向某個優先方向的原因。

精確地說，若 A > 0（逐元素），則存在一個單重特徵值 r > 0，即佩龍根，等於譜半徑，並帶有嚴格為正的特徵向量 v（佩龍向量）。弗羅貝尼烏斯把它推廣到不可約的非負矩陣（其對應圖強連通）：r 仍為正且有正特徵向量，但對週期矩陣，其他特徵值也可能落在半徑為 r 的圓上。

特徵向量的正性是其神奇之處。多數矩陣的特徵向量正負號混雜，而佩龍向量同號，因此可讀作一個分佈或一份排名，永不自相抵消。

為何重要：單憑這一定理就支撐了 PageRank、不可約馬可夫鏈的穩態、族群模型（Leslie 矩陣）的主導模式，以及經濟投入產出均衡。警示在於不可約性：若圖分裂成彼此無法到達的部分，唯一正特徵向量這一乾淨保證就會失效。