譜半徑（蓋爾範德）公式

譜半徑 rho(A) 是 A 的特徵值絕對值中的最大者：rho(A) = max |lambda_i|。它是決定反覆作用 A 會讓向量爆炸還是消亡的唯一數字。若 rho(A) < 1，冪 A^k 收縮到零；若 rho(A) > 1，則某個方向無界地增長。

蓋爾范德公式純粹用範數表達這一點：rho(A) = 當 k -> infinity 時 ||A^k||^(1/k) 的極限，且對每一種矩陣範數該極限都相同。所以儘管單個 ||A^k|| 可能誤導你，取 k 次方根並取極限會剝離範數的選擇和瞬態行為，留下真正的長期增長率。

微妙之處在於 rho 本身不是範數——對非零矩陣它可以為零（任何冪零矩陣的特徵值全為零）。永遠成立的是：對每個次乘範數都有 rho(A) <= ||A||。特徵值住在每個範數球內；蓋爾范德說在極限下它們恰好填滿它。

凡有冪出現之處此事都重要：諸如 x_{k+1} = M x_k + c 的迭代求解器的穩定性、諾伊曼級數的收斂性，以及動力系統和馬可夫鏈的長期行為。實用法則很簡單——盯住 rho，而不是一次性的範數。