矩陣範數

矩陣範數用一個數度量矩陣的大小，正如向量範數度量向量。由於所有 m 列 n 行矩陣本身構成一個向量空間，向量範數的全部公理仍然成立。但矩陣還能相乘，這一額外結構促使我們再要求一條性質。

這條性質就是次乘性：只要乘積有定義，就有 ||A B|| <= ||A|| ||B||。一個既滿足全部向量公理又滿足此乘積規則的範數，稱為（相容的）矩陣範數。它正是讓你控制在反覆相乘中累積的誤差的關鍵，是數值分析的看家本領。

有兩大族佔主導。Frobenius 範數 ||A||_F = sqrt(sum_{i,j} |a_{ij}|^2) 只是把矩陣當作一個長向量並取其歐幾里得長度；它等於 sqrt(sum sigma_i^2)，即奇異值的平方和再開方。算子（誘導）範數則度量 A 能把向量拉伸多少。兩者都是次乘的，但回答不同的問題：Frobenius 是總能量，算子 2-範數是最壞情形的拉伸 sigma_max。

一個值得記住的告誡：並非每個看起來自然的範數都是次乘的。逐元素的極大值範數 max |a_{ij}| 滿足向量公理，卻可能不滿足 ||AB|| <= ||A|| ||B||，所以它是該空間上的範數，但嚴格意義上不是矩陣範數。務必弄清你實際擁有的是哪種保證。