次乘性

次乘性是把矩陣空間上的一個普通範數變成有用的矩陣範數所需的那一條額外規則。它說乘積的大小絕不超過各因子大小之積：||A B|| <= ||A|| ||B||。先被 A 拉伸再被 B 拉伸可能複合它們的效應，但絕不會超過相乘的程度。

正是這一條不等式讓誤差分析變得可處理。當誤差流經一連串運算、一個冪或一次迭代時，次乘性讓你用各部分之積來界定整體。例如 ||A^k|| <= ||A||^k，這正是當 ||A|| < 1 時你證明迭代收斂所需的槓桿。

並非每個矩陣上的範數都具備它。所有誘導（算子）範數天生就是次乘的，因為它們度量拉伸而拉伸會複合。Frobenius 範數也是次乘的，且與歐幾里得向量範數相容。但逐元素的極大值範數 max |a_{ij}| 可能違反它，這正是為何它是矩陣空間上的範數卻不算作矩陣範數。

次乘性是本領域許多定理背後那個安靜的前提：它支撐了界 rho(A) <= ||A||、諾伊曼級數的收斂、把條件數定義為 ||A|| ||A^-1||，以及後向誤差經由乘積的傳播。每當一個證明把範數相乘時，被援引的就是這條規則。