誘導（算子）範數

誘導範數回答一個物理問題：矩陣 A 最多能把一個向量拉伸多大倍數？為輸入和輸出選定一個向量範數 ||.||，然後定義 ||A|| = 在 x != 0 上取 ||A x|| / ||x|| 的最大值。由於該比值忽略 x 的長度，你也可以等價地在所有單位向量上取 ||A x|| 的最大值。

每一種向量範數的選擇都誘導出一種矩陣範數，其中三種是主力。1-誘導範數是最大絕對行和（按列加總）max_j sum_i |a_{ij}|。inf-誘導範數是最大絕對列和（按列逐項加總）max_i sum_j |a_{ij}|。2-誘導範數，即譜範數，是最大奇異值 sigma_max(A)——在幾何上是 A 把單位球面映成的橢球的最長軸。

誘導範數自帶兩份贈禮。它們自動是次乘的，||A B|| <= ||A|| ||B||，因為連續拉伸兩次會把拉伸因子相乘。它們也與生成它們的向量範數相容，||A x|| <= ||A|| ||x||，每當你要界定一個變換能把資料移動多遠時，就會用到這條不等式。

代價在於計算成本。1-範數與 inf-範數可以從元素中立即讀出，但 2-範數需要最大奇異值，那是一個迭代計算。在實務中，當只需快速且有保證的估計時，人們常用 sqrt(||A||_1 ||A||_inf) 來界定譜範數。