諾伊曼級數

諾伊曼級數是幾何級數 1/(1 - r) = 1 + r + r^2 + ... 的矩陣版本。它把 I - A 的逆表示為冪的無窮和：(I - A)^-1 = I + A + A^2 + A^3 + ...。當級數收斂時，它既證明逆存在，又給出逼近它的構造性方法。

收斂有一個乾淨的充分條件：若在任一次乘範數下 ||A|| < 1，則部分和構成柯西序列（因為 ||A^k|| <= ||A||^k 幾何式衰減），於是級數收斂，其和為 (I - A)^-1。精確條件是譜的：級數收斂當且僅當 rho(A) < 1，即譜半徑小於一。

實用之處在於逆的擾動。若你已知 B^-1 而把 B 略微擾動為 B + E，寫 B + E = B(I + B^-1 E) 並展開：(B + E)^-1 = (I + B^-1 E)^-1 B^-1 = (I - B^-1 E + ...) B^-1，當 ||B^-1 E|| < 1 時有效。這就是你估計線性系統的解在矩陣小變化下如何移動的方法。

它也直接界定求逆的條件。從級數得到 ||(I - A)^-1|| <= 1 / (1 - ||A||)，它量化了 I - A 在其逆爆炸之前能漂移到多接近奇異——這是條件數估計與迭代求解器收斂背後的解析引擎。