偽譜

偽譜回答單憑特徵值無法回答的問題：若矩陣被稍加擾動，特徵值能去到哪裡？對容差 epsilon，epsilon-偽譜是這樣一些複數的集合：它們是與 A 相距不超過 epsilon 的某個矩陣的特徵值。對正規矩陣，它只是真譜周圍薄薄的 epsilon-環領；但對非正規矩陣，它可以鼓出巨大的範圍。

它有三個等價的定義，這也是其魅力的一部分。點 z 屬於 epsilon-偽譜，若 (1) z 是某個 ||E|| <= epsilon 的 A + E 的特徵值；或 (2) 預解式很大，||(z I - A)^-1|| >= 1/epsilon；或 (3) 最小奇異值 sigma_min(z I - A) <= epsilon。第三個才是你實際計算的：讓 z 掃過網格並繪製等高線。

這幅圖揭露隱藏的脆弱。一個矩陣可以讓其所有特徵值舒舒服服地落在單位圓盤內——預示衰減——卻有一個伸到圓盤外的肥大偽譜，警告 ||A^k|| 在最終衰減開始之前會激增許多步。特徵值描述極限；偽譜描述瞬態。

這是鮑爾-法伊克的幾何形式。在特徵向量幾乎平行之處（大 kappa(V)），預解式在遠離譜的地方爆炸，偽譜便蔓延開來。偽譜是處理非正規現象的正確工具：流體流動中的瞬態增長、諸如 GMRES 的迭代求解器的收斂，以及離散化微分算子的穩定性。