鮑爾-法伊克定理

鮑爾-法伊克定理度量當你輕推一個可對角化矩陣時，它的特徵值能移動多少。它捕捉到的意外之處是：答案不僅取決於輕推的大小，還取決於特徵向量有多歪斜。幾乎平行的特徵向量會讓特徵值極度敏感。

設 A = V D V^-1 可對角化，並將它擾動為 A + E。定理說 A + E 的每個特徵值 mu 都落在 A 的某個特徵值的 kappa(V) ||E|| 距離之內，其中 kappa(V) = ||V|| ||V^-1|| 是特徵向量矩陣的條件數。用記號寫：對 lambda 取最小的 |mu - lambda| <= kappa(V) ||E||，使用諸如 2-範數的相容範數。

因子 kappa(V) 就是特徵值條件。若 A 是正規的——對稱、埃爾米特或么正——其特徵向量可選為標準正交，於是 V 是么正矩陣，kappa(V) = 1，特徵值至多移動 ||E||：這已是最好的情形。但對強非正規矩陣，kappa(V) 可能極大，微小的擾動就能把特徵值拋得很遠。

這解釋了一個臭名昭著的數值事實：虧損或接近虧損的矩陣其特徵值劇烈不穩定，準確計算它們之所以困難，並非因為演算法糟糕，而是因為問題本身病態。鮑爾-法伊克是該警告的定量形式，而偽譜是它的圖像。