外爾擾動（特徵值）

外爾定理是對稱矩陣的好消息：它們的特徵值在擾動下幾乎不動。若你給對稱矩陣 A 加上一個小的對稱誤差 E，沒有任何特徵值的位移會超過 E 的大小。譜的穩定性已是你所能企盼的極致。

把對稱（或埃爾米特）矩陣的特徵值排序為 lambda_1 >= lambda_2 >= ... >= lambda_n。外爾不等式斷言：對擾動矩陣 A + E，第 k 個特徵值滿足 |lambda_k(A + E) - lambda_k(A)| <= ||E||_2。更精細的雙邊版本用 E 的極端特徵值把每個位移後的特徵值夾在鄰居之間。

其背後的引擎是 Courant-Fischer 極小極大刻畫：每個特徵值都是瑞利商在子空間上的極大-極小，而加上 E 會讓每個瑞利商至多移動 ||E||_2。由於特徵值由這些商構造，它們繼承相同的界。這裡不出現對角化條件——對稱性保證了標準正交的特徵向量。

在實務中，這正是對稱特徵值問題受信任的原因：階為 epsilon 的測量雜訊或捨入，使計算出的特徵值至多移動 epsilon。它是鮑爾-法伊克的完美條件特例，也是同樣穩健的奇異值擾動界在特徵值上的類比。