柯西交錯定理

柯西交錯定理描述當你刪去對稱矩陣的一列及其對應行時，特徵值會發生什麼。更小的矩陣特徵值更少，但它們不能落在任意位置——它們必須整齊地穿插在完整矩陣的特徵值之間，絕不越出空隙之外。

設 A 是 n 階對稱矩陣，特徵值為 lambda_1 >= ... >= lambda_n；設 B 是刪去一列及同一行得到的 (n-1) 階主子矩陣，特徵值為 mu_1 >= ... >= mu_{n-1}。交錯斷言對每個 k 有 lambda_k >= mu_k >= lambda_{k+1}。每個子矩陣特徵值都被父矩陣兩個相鄰特徵值夾住。

更一般地，若 B 是 n 階對稱矩陣 A 的 m 階主子矩陣，則 lambda_{k+n-m} <= mu_k <= lambda_k。證明再次倚靠 Courant-Fischer：把瑞利商限制到子空間只能把它的極大-極小值往裡擠，絕不會往外擴。

回報既是理論的也是計算的。交錯告訴你前導子矩陣的特徵值永遠不會大於整個矩陣，它給出用斯圖姆序列在區間內計數特徵值的方法，也是為何收縮和二分特徵值求解器在對稱問題上表現良好的根本原因。