奇異值擾動

奇異值是矩陣所附帶的最穩健的數。與一般矩陣的特徵值（可能極度敏感）不同，奇異值在擾動下幾乎不動——即便對非對稱、非正規或長方形矩陣也是如此。這正是 SVD 成為含雜訊數值計算主力的原因。

奇異值的外爾界斷言每個奇異值關於矩陣是 1-利普希茨的：對每個 k 有 |sigma_k(A + E) - sigma_k(A)| <= ||E||_2，其中奇異值按 sigma_1 >= sigma_2 >= ... 排序。米爾斯基更強的定理把它們整體界定：sqrt(sum_k (sigma_k(A + E) - sigma_k(A))^2) <= ||E||_F，更一般地，其變化在每個么正不變範數下都被界定。

奇異值如此穩定的原因是：sigma_k(A) 是對稱矩陣 A^T A 的特徵值（的非負平方根），而對稱特徵值遵守外爾的完美條件界。所以奇異值自動繼承最佳情形的行為，絲毫不見特徵向量條件因子。

這種穩定性是實用演算法的支柱：數值秩之所以統計高於容差的奇異值，恰恰是因為大小為 epsilon 的雜訊只能讓它們移動 epsilon；低秩逼近之所以可靠，是因為截斷小奇異值只丟棄矩陣中受控的一部分。對雜訊的穩健是 SVD 的標誌性饋贈。