數值秩

精確秩統計非零奇異值的個數，但在浮點運算中幾乎沒有什麼恰好為零。捨入和測量雜訊把真正為零的奇異值抹成一個微小卻為正的數，於是天真的計數總會報告滿秩。數值秩透過只統計確實大的奇異值來糾正這一點。

給定容差 tol，數值秩是嚴格大於 tol 的奇異值個數：r = 滿足 sigma_k > tol 的 k 的個數。容差選得高於雜訊底——一個常見預設是 tol = max(m, n) 乘以最大奇異值再乘以機器 epsilon，從而捨棄那些可由捨入解釋的值。

這正是你在實務中應當信任的秩，而奇異值擾動理論為之提供了依據。由於在擾動 E 下每個奇異值至多移動 ||E||_2，奇異值譜中一個清晰的間隙是穩定的：低於間隙的雜訊無法把一個小奇異值抬過它。那個間隙的大小就是你的置信餘量。

數值秩支撐著低秩逼近、揭秩分解，以及不適定問題的正則化。當奇異值平滑衰減而沒有清晰間隙時，數值秩確實是含糊的，而這種含糊本身就是有用的資訊：它告訴你該問題沒有尖銳的內在維數。