特徵（譜）分解

特徵值分解就是把對角化看作一種分解。若 A 擁有一整組線性無關的特徵向量，把它們作為 X 的各列，並把對應的特徵值放在 Lambda 的對角線上，則 A = X Lambda X^-1。從右往左讀：換到特徵向量座標，把每個軸按其特徵值縮放，再換回來。

一旦有了它，A 的冪與函數就變得平凡。A^k = X Lambda^k X^-1，因為中間的 X^-1 X 相消，所以求 A 的冪只是把每個特徵值取相應次冪。同樣的思想定義矩陣指數 e^A = X e^Lambda X^-1，用以求解線性微分方程。這一分解把困難的矩陣問題化為對角線上簡單的純量問題。

決定性的提醒是 X^-1 必須存在，即 A 必須有 n 個無關特徵向量。虧損矩陣（特徵向量不足者，如非平凡的 Jordan 塊）根本沒有這種分解。即便 X 存在，它也可能近乎奇異、條件數極大，使該分解在數值上極難使用。

把它與正交的譜形式對比。當 A 對稱（或 Hermite）時，譜定理把 X 升級為正交/么正矩陣 Q，給出 A = Q Lambda Q^*，特徵值為實，特徵向量正交歸一且條件極好。一般的特徵值分解是脆弱的表親；對稱的譜分解才是穩健的理想形態。