由因式求根

一旦你把一個方程式分解成某乘積等於零,每個因式幾乎不費力就送給你一個解。由因式求根,就是令某個因式等於零、解那個小方程式而得到的值。這正是因式分解的回報:一個難解的多項式方程式坍縮成幾個一步即可解決的小問題。

其推理依據是零積性質。若 (x - 2)(x + 5) = 0,則要麼 x - 2 = 0,要麼 x + 5 = 0,故根為 x = 2 與 x = -5。每個一次因式 (x - r) 都直接對應根 x = r——也就是使該因式為零的那個數。這正是為何已分解的多項式把它的根都擺在明面上。

兩點以求精確。像 (x - 3)^2 這樣的重複因式給出同一個根兩次——即「二重根」——它是一個按重數計為二的單一數值。還有,因式必須等於零,而非其他值:只有當乘積被置為 0 時,每個因式才各自獨立地產生一個根。