不等式的作用

初等代數大多關乎等式——求出使兩邊相等的那個值。分析卻把這翻了過來：它大多關乎不等式，因為要控制一個晃動的、近似的量，你很少能確切知道它，卻可以把它夾在上下界之間。分析者的本能不是「這等於多少？」，而是「它能有多大？」。

不等式是分析的工作語言：幾乎每個論證所擺弄的，是估計與界，而非精確的等式。要證明一個量很小，你就用一個能被你弄小的東西把它從上方界住；要證明某極限成立，你就把一段距離壓到所選的 epsilon 以下。三角不等式 |a + b| <= |a| + |b| 是用得最多的單一工具，它讓你把複雜的表達式一塊一塊地拆開並界住。

這正是為何「只需證明 ... < epsilon」這類話語在證明中俯拾皆是。你追逐的並非誤差項的確切值——只是它的一個可用的上界。需誠實地補充：一個界，好就好在它對目的而言足夠緊。一個仍能擊敗 epsilon 的粗糙估計就是徹底的成功；目標是夠用，而非最優。