黎曼 zeta 函數（Riemann zeta function）
/ REE-mahn ZAY-tuh /
把平方的倒數加起來：1 加 1/4 加 1/9 加 1/16 加 ...，它收斂，而令人驚訝的是答案是 pi^2 除以 6。把冪 2 換成一般指數 s，你就得到黎曼 zeta 函數——一個把質數、特殊常數與數學中最深的未解難題編織在一起的函數。
對 s 大於 1，它由收斂級數 zeta(s) = 對 n 從 1 求和的 1 除以 n^s 定義。它通往質數的橋樑是歐拉乘積：zeta(s) 也等於 對所有質數 p 求積的 1 除以 (1 減 p^{-s})，這一恒等式編碼了算術基本定理，也是 zeta 支配質數分布的原因。級數在 s 不大於 1 時發散（s = 1 處是調和級數），但該函數被解析延拓到整個複平面，僅在 s = 1 處有一個簡單極點。那一延拓在其餘各處都賦予有限值——包括著名的正則化值 zeta(-1) = 負 1/12，它是一種解析延拓，而非 1 加 2 加 3 加 ... 的字面求和。
zeta 是分析與數論的交匯點。黎曼猜想——即 zeta 所有非平凡零點都落在 s 實部等於 1/2 的直線上的猜想——掌控著質數分布的規則程度，至今未獲證明。在純數學之外，zeta 的值出現在熱輻射的斯特藩-玻爾茲曼定律中（通過 zeta(4)）、平板間的卡西米爾力中（那裡用 zeta 正則化馴服一個發散和），以及整個量子場論與統計力學中。
巴塞爾和 zeta(2) = 1 加 1/4 加 1/9 加 ... = pi^2 除以 6 約等於 1.6449，而 zeta(4) = pi^4 除以 90 約等於 1.0823；這些偶數自變量的值總是 pi 的冪的有理數倍。
zeta 在偶整數處是 pi 的冪的乾淨有理倍數；在奇整數處，連 zeta(3) 都沒有這樣的已知閉式。
zeta(-1) = 負 1/12 是解析延拓，而非 1 加 2 加 3 加 ... 的字面值，後者真正發散；所謂自然數「之和為負 1/12」只在這種正則化意義下成立。