對數積分（logarithmic integral）

一百萬以內有多少個質數？驚人的答案是：這個計數能被一個非初等積分非常緊密地追蹤。對數積分 li(x) 是一除以自然對數下方的累積面積——一個與質數分布如此緊密相連的函數，以至於它成為質數定理的主角項。

其定義為 li(x) = 從 0 到 x 對 dt 除以 ln t 的（主值）積分。需要主值是因為被積函數在 t = 1 處有極點，那裡 ln t = 0；要把積分拆開並對該點取對稱極限。由於 1/ln t 沒有初等原函數，li 與 erf、Ei 一起被擺上命名積分的書架。一個密切相關、無極點的變體是偏移對數積分 Li(x) = 從 2 到 x 對 dt 除以 ln t 的積分，它從 2 乾淨地起步，與 li 相差常數 li(2) 約等於 1.045。

對數積分是質數計數函數的最佳簡單估計：不超過 x 的質數個數約等於 li(x)，這個近似遠比粗糙的 x 除以 ln x 準確。這裡藏著一個著名的微妙之處：對每個被檢驗過的 x，li(x) 都高估了質數計數，然而李特爾伍德證明二者之差會無窮多次變號，第一次反超（Skewes 數）出現在一個幾乎無法想象的巨大值處。這乾淨地提醒我們：數值證據無論多麼浩大，都不等於證明。