逆向 FOIL(逆展開)

FOIL 是把兩個二項式相乘的口訣——首項(First)、外項(Outer)、內項(Inner)、末項(Last)。逆向 FOIL 就是把這部電影倒著放:有人把展開後的三項式交給你,要你還原出它來自的那兩個二項式。它本質上就是把三項式分解看作「逆乘法」,靠的是理解 FOIL 的各部分如何生成每一項。

其邏輯是:在 (px + m)(qx + n) 中,首項相乘給出 x^2 的係數(p·q),末項相乘給出常數項(m·n),外項加內項給出中間係數(p·n + q·m)。要逆推,你就尋找能同時命中這三個目標的待定值 p、q、m、n,逐一試探首、末係數的因數對,直到中間項算對為止。

對首項係數為 1 的三項式,這很快;但首項係數較大時,試錯量會急劇膨脹,這正是十字相乘法(AC 法)作為更系統的替代方案存在的原因。逆向 FOIL 越練越熟:老手幾乎憑直覺就能看出正確的數對。