因式分解技巧
三項式分解
像 x^2 + 5x + 6 這樣的三項式裡,常常藏著兩個二項式。對三項式做分解,就是找出那兩個二項式——這裡是 (x + 2)(x + 3)——使得把它們乘回去就得到原來的三項式。這是一種由算術指引的試湊,而非純靠運氣。
對於簡單三項式 x^2 + bx + c(首項係數為 1),你要找兩個數,它們的積為 c、和為 b。對 x^2 + 5x + 6,需要兩個積為 6、和為 5 的數:那就是 2 和 3,得 (x + 2)(x + 3)。當首項係數不是 1 時,例如 2x^2 + 7x + 3,尋找會更難,人們常改用十字相乘法(AC 法)或逆向 FOIL。
要誠實面對局限:許多三項式無法分解成係數為整數(甚至有理數)的二項式。積與和的搜索可能根本找不到合法的數對,這時該三項式在有理數範圍內就是不可約的,你只能改用求根公式或配方法。
x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4),因為 (-3)(-4) = 12 且 (-3) + (-4) = -7。
積為 12,和為 -7——兩數皆為負。
對 x^2 + bx + c:若 c 為正,兩數與 b 同號;若 c 為負,兩數異號。這條符號規則能在動手前就縮小搜索範圍。
另見