剩餘有限群

設想一個無限群，也許龐大而複雜。你想檢測某個特定的非單位元——確認它確實不是單位元。剩餘有限性表明：你總能透過把群壓縮成一個有限群、並使該元素在其中仍然存活來做到這一點。沒有任何非平凡元素能對所有有限商隱形；群中的每一處區別都被某幅有限圖景所見證。

精確地說，群 G 稱為剩餘有限的，若對每個 g ≠ 1 都存在有限群 F 與同態 φ : G 到 F 使 φ(g) ≠ 1。等價地，所有有限指數正規子群之交平凡；又等價地，G 以平凡核嵌入其有限商的逆極限（即其有限完備化／profinite 完備化）。此性質對子群與有限直積封閉，並被任何嵌入某剩餘有限群的群所繼承。

剩餘有限性既普遍又有力。有限生成線性群是剩餘有限的（馬爾采夫定理），因而有限生成自由群、多重循環群、曲面群以及許多其他群都滿足。關鍵地，馬爾采夫注意到：有限表現的剩餘有限群有可解的字問題——一邊枚舉關係以確認 w = 1，一邊枚舉有限商以確認 w ≠ 1，兩路搜尋中必有一路停機。然而並非所有群都剩餘有限：無限單群與 BS(2, 3) 就不是。