不確定性關係

不確定性關係是海森堡原理背後那個精確的數學不等式。對位置與動量而言，它寫作 ΔxΔp ≥ ℏ/2，其中 Δx 與 Δp 是這兩個量的統計彌散，ℏ 則是普朗克常數除以 2π。這個不等式設下一道硬性下限：兩種彌散的乘積只能縮小到這個程度，絕不會一起縮到零。

這個關係並不侷限於位置與動量。羅伯遜給出的一個更普遍的版本適用於任意兩個可觀測量，它把二者聯合彌散的最小值，與它們的算符「不對易」的程度聯繫起來。當兩個量可以毫無權衡地一同測量時，它們的算符對易，不等式右邊便消失；當它們不能時，就出現一個非零的下限。x 與 p 的正則對易關係，正是在熟悉的情形裡產生那個 ℏ/2 的根源。

對這個關係所描述的內容須加小心。它說的是你在多次同樣製備下所得結果的統計彌散，而不是對單個粒子做單次測量的事。你可以把一個粒子的位置測得儀器所允許的那般精確；這個關係約束的是重複結果的分佈如何受限——這比「你不能同時測量兩樣東西」是一個更銳利也更誠實的說法。