對易子

兩個算符的對易子，衡量的是施加它們的次序究竟有多重要。它的定義是 Â 乘 B̂ 減去 B̂ 乘 Â：先按一個次序做運算，再按另一個次序做，取其差。對普通的數而言，這個差永遠是零；但對算符而言，它可以是相當可觀的東西，而這個非零的差，承載著真實的物理含義。

當對易子為零時，兩個算符被說成是對易的，它們共享一組共同的本徵態。這意味著它們所表示的兩個可觀測量可以同時擁有確定的值——你可以把兩者都知道得很銳利。而當對易子不為零時，並不存在對所有態都成立的這種共同本徵態，於是這兩個量就無法同時做到完美銳利。

因此，對易子正是用來追問哪些可觀測量相容、哪些不相容的精確工具。一個非零對易子的大小，甚至設定了這兩個量中不可避免的最小彌散，從而把一段代數直接變成了不確定性原理。量子力學的許多結構——角動量、諧振子、不確定性關係——都被編碼在少數幾個關鍵的對易子之中。