正交歸一基

正交歸一基是一種基底，其成員不僅完備，還在兩個特定方面整潔有序：每個基底態的長度都為一（已歸一化），而任何兩個不同的基底態都互相垂直，即它們的內積為零（正交）。用符號寫，當 m 與 n 是同一個態時 ⟨m|n⟩ 等於一，否則等於零——這是一組態所能擁有的最清爽的關係。

這份整潔在計算中回報巨大。要求出態 |ψ⟩ 沿基底方向 |n⟩ 的係數，你只需取內積 ⟨n|ψ⟩，便可徑直讀出——無需解聯立方程，也無需理清各坐標軸之間的重疊。長度與機率也變得輕而易舉：一個已歸一化的態，其係數的平方之和等於一，因此可以直接讀作相應測量結果的機率。

量子力學裡大多數常見的基底都是正交歸一的，這自有緣由。一個系統的能量本徵態、自旋朝上與朝下的態、位置態——全都可以被安排成正交歸一的，因為它們對應於彼此不同、互相排斥的測量結果。單次銳利測量的不同結果總是可以被完美區分，而這正是正交性所表達的含義。