內積

內積，寫作 ⟨φ|ψ⟩，是把一個左矢與一個右矢配對所得到的那個單一複數。它是你也許從普通向量那裡熟悉的點積的量子版本，量度兩個態有多少重疊——它們有多相像。若這個數的大小很大，兩個態就很相似；若它為零，兩個態便是正交的，意味著它們毫無共通、可被完美區分。

與日常箭頭的點積不同，量子內積可以是複數，而且次序重要：交換兩個態會給出複共軛，所以 ⟨φ|ψ⟩ 與 ⟨ψ|φ⟩ 互為鏡像。把一個態與自身配對，⟨ψ|ψ⟩，總會給出一個為零或為正的實數；它的平方根就是這個態的長度，即範數，我們通常把態縮放到這個長度等於一。

這一個運算悄悄地驅動著幾乎一切量子事物。機率依照玻恩定則，來自重疊大小的平方；期望值是中間夾著一個算符的內積；而追問兩個態在測量中能否被分辨，歸根結底問的正是它們的內積。幾何——態向量之間的長度與夾角——正是量子預言所用的語言。