歸一化

歸一化就是給波函數定標，使得在某處找到粒子的總機率恰好等於一。既然 |ψ|² 是機率密度，把它在全空間上累加起來就必須得到一：粒子必定在某個地方。若一個未經處理的波函數積分出來是別的數，你只需把 ψ 除以那個數的平方根，機率便會乖乖地落在零與一之間。

歸一化的必要性，直接來自機率的含義。一個累加為二的密度，等於宣稱粒子被「找到了兩遍」；一個累加為二分之一的密度，則會丟掉半個粒子。只有「一」這個值才是誠實的。由於真正承載物理意義的是 |ψ|²，把 ψ 乘以任何一個模為一的總體常數——一個純相位——都不改變任何可測量的東西；歸一化固定了模的大小，卻讓那無害的自由度安然不動。

並非每一個方程的解都能被歸一化。一個在遠處不衰減的波函數，可能包含無窮大的總機率，那它就無法描述單個局域化的粒子。這類不可歸一化的函數，比如一列完全銳利的平面波，作為理想化與構造的基石仍然有用，但一個真正的物理態必須是可歸一化的——它的機率雲必須累加為一。