完備性關係

完備性關係斷言：一個基底確實覆蓋了整個空間，沒有遺漏任何一個態。它寫作對一組投影算符在基底上求和，Σ |n⟩⟨n| = 1，意思是把投向每一個基底方向的投影算符相加，便重建出單位算符——那個讓每個態都保持不變的運算。說白了：任何態都由它沿基底的各個分量完全交代清楚。

它日常的用法，是作為一件可以塞進任何表達式而不改變其值的工具，因為插入單位算符什麼也不會改變。把 Σ |n⟩⟨n| 丟進一個重疊或一個算符的中間，它便悄悄把計算拆成對基底態的求和，每一份都是一個你能對付的簡單的數。這種「插入一組完備態」的技巧，是整個量子力學中最常用的招數之一。

完備性是正交歸一的搭檔。正交歸一說的是基底態乾淨而彼此分明；完備性說的是它們的數目足夠張滿一切，無一缺漏。一組雖正交歸一卻不完備的態會留下縫隙——它無法表示的態——所以兩條性質合在一起，才使一個基底值得信賴。對於像位置這樣的連續基底，求和就變成積分，但想法毫無二致。