本徵值方程

本徵值方程是一句樸素卻強大的陳述：算符作用在一個態上，交還回來的是同一個態乘上一個數。簡潔地寫下來就是 Â|ψ⟩ = a|ψ⟩，其中 Â 是算符，|ψ⟩ 是本徵態，a 是本徵值。求解這個方程，就是找出所有能毫髮無損地從算符底下倖存的特殊態，以及與之相配的那些數。

這一條關係，把本學科三個核心概念串在了一起。滿足它的態就是本徵態；冒出來的那些數就是本徵值；而對一個可觀測量來說，這些本徵值恰恰就是測量所能返回的值。所以，當你寫下一個算符並發問它的本徵值方程時，你其實是在向自然界詢問：它允許哪些結果出現。

實踐中，量子力學的極大一部分工作，就是求解本徵值方程。不含時薛丁格方程正是能量算符——哈密頓量——的本徵值方程，求解它便得到一個原子或一口勢阱被允許的能階。同一套模板——寫下算符、解它的本徵值方程、讀出譜——在整套理論中反覆出現。