主叢（principal bundle）
主 G-叢是坐落在每個幾何結構背後的「對稱叢」。它的纖維是李群 G 的副本，但帶著一個刻意的扭轉：每根纖維中都沒有標出特定的單位元。想想在流形每一點上建立座標標架的所有方式——沒有典範的「第一」標架，但任兩個標架相差一個旋轉，而旋轉群在標架上的作用是單純可遞的。主叢恰是纖維為一個群、且該群以右乘自由且可遞地作用於自身的叢。
精確地說：主 G-叢是一個纖維為 G 的纖維叢 pi: P -> M，配有 G 在 P 上保持纖維（p 與 p.g 坐落於同一點之上）的光滑右作用，且該作用在每根纖維上自由且可遞。自由加可遞意味著每根纖維是一個「torsor」——遺忘了單位元的 G 的副本：你能用把一點搬到另一點的唯一群元素來比較兩點，卻指不出一個基點。局部平凡化 P|_U 同構於 U times G 要求是 G-等變的，因此轉移函數 g_{UV}: U cap V -> G 以左乘作用。P 有截面若且唯若 P 平凡——這與恆有零截面的向量叢不同。
主叢是主宰性的物件：由一個主 G-叢和任何 G 作用其上的空間 F，可造出一個相伴叢，而每個向量叢都是這樣由它的標架叢造出來的。它們是規範理論的天然居所，其中 G 是規範群，P 上的聯絡就是規範場。一句口號是：主叢記錄對稱性，所有幾何張量都是由 G 的表示造出的相伴叢。一個需弄清的微妙處：主叢有全域截面的充要條件是它平凡，因此全域截面的存在是個強的、往往為假的條件。
n 維流形的標架叢是一個主 GL(n,R)-叢：它在 p 上的纖維是 T_p M 的所有有序基底之集，而 GL(n,R) 以更換基底（自由地、可遞地）作用。限制到黎曼度量的正交標架上，得到一個主 O(n)-叢。正交標架叢的一個截面就是一個光滑的全域正交標架——它存在的充要條件是該叢可平行化，例如在李群上成立，但在 S^2 上不成立。
標架叢是切叢由之相伴而成的主叢；它的截面就是全域標架。
定義中的「纖維裡沒有基點」（纖維是 torsor，而非標有單位元的群）正是使「有截面」等同於「平凡」的原因。把纖維當成字面上的群 G——帶著固定的單位元——其實悄悄假設了一個你未必擁有的平凡化。