李群（Lie group）
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想像旋轉地球儀的所有方式。旋轉有無窮多種，且彼此平滑變化：手腕輕輕一轉，得到一個與前一個相近的旋轉，而且你可以從任一旋轉連續地滑動到任意另一個旋轉。同時，旋轉像群一樣複合——先做一個再做一個，得到第三個，並有單位元（什麼都不做）與逆元（撤銷）。李群正是這種結合：一個既是光滑流形又是群、且兩種結構互相協調的集合。
精確地說，李群 G 是一個配備了群運算的光滑流形，使得乘法 m: G x G -> G，(a, b) |-> a*b，與取逆 i: G -> G，a |-> a^(-1)，皆為光滑映射。（單是乘法光滑就已迫使取逆也光滑。）G 的維數即其作為流形的維數。圓 S^1 配上角度相加，是一維李群；旋轉群 SO(3) 是三維的；加法下的實數線 R 與乘法下的非零實數 R^*，都是阿貝爾李群。關鍵在於：每一點看起來都和其他點一樣——以固定 g 作左乘的映射 L_g(x) = g*x 是一個微分同胚，把單位元 e 送到 g，於是 e 附近的局部幾何被複製到每一處。這正是為何李群全部的無窮小結構都集中在一點——單位元——上被掌握。
李群是連續對稱的精確語言，因此遍佈幾何與物理：勞侖茲群、規範群、齊性空間的對稱、叢的結構群。一個常見細節：李群不必連通（正交群 O(n) 有兩個分量，det = +-1），也不必緊緻（GL(n,R) 在矩陣空間中是開集，故非緊）。「李群」一詞除了「是配有光滑運算的光滑流形與群」之外，並不附帶任何拓樸上的保證。
單位圓 S^1 = {e^(i*theta)} 配上複數乘法：e^(i*alpha) 乘以 e^(i*beta) 得 e^(i*(alpha+beta))，這是光滑運算；單位元為 1，e^(i*theta) 的逆為 e^(-i*theta)。它是緊緻、連通、一維的阿貝爾李群，常記為 U(1)。
S^1 = U(1)：最簡單的非平凡李群，也是單參數群的原型。
不要因為「李群」一詞就假定連通或緊緻。O(n)、GL(n) 與勞侖茲群都是不連通或非緊（或兩者皆是）的真正李群。