李群指數映射（Lie-group exponential map）

指數函數 e^x 把加法變成乘法：e^(s+t) = e^s e^t。李群指數是同一想法接入彎曲的對稱群中。它取一個無窮小對稱——李代數的元素，「單位元處的速度」——並積分一單位時間，產生一個真正的群元素。它是把 g 的線性代數翻譯為 G 的彎曲幾何的主字典。

形式上，對具李代數 g 的李群 G，指數映射 exp: g -> G 把 X 送到 gamma_X(1)，其中 gamma_X 是滿足 gamma_X'(0) = X 的唯一單參數子群；等價地，exp(X) 是由 X 決定的左不變向量場、從單位元出發、時間 1 的流。故 exp(tX) = gamma_X(t) 描出整個單參數子群。對矩陣群，這就是名副其實的矩陣指數 exp(A) = e^A = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...。關鍵性質：exp 光滑，exp(0) = e，其在 0 處的微分是 g 上的恆等映射（故 exp 是從 g 中 0 的鄰域到 G 中 e 的鄰域的微分同胚——這是「第一類典範座標」的來源），且 exp((s+t)X) = exp(sX) exp(tX)。但須注意：除非 X 與 Y 可交換，否則 exp(X) exp(Y) 並不等於 exp(X+Y)；其修正由貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式支配，其首項即括號：exp(X)exp(Y) = exp(X + Y + (1/2)[X,Y] + ...)。

指數映射是計算單參數子群、伴隨表示與整個局部理論的方式；它在單位元附近把群線性化。兩個專屬研究所層級的誠實要點。其一：exp 對連通群未必滿——在 SL(2, R) 中有些元素（某些跡 < -2 者）不形如 exp(X)——不過對緊緻連通群與連通冪零群則為滿。其二且重要：李群的 exp(X) 與第一冊的黎曼 exp_p 是不同的構造。它們僅在雙不變度量下一致（緊緻群上總是存在），此時單參數子群是通過 e 的測地線；一般而言，左不變度量的測地線並非單參數子群，故切勿混淆這兩個指數。