光滑結構（smooth structure）
第一冊給了你拓樸流形：一個透過座標卡在局部看起來像 R^n 的空間，且在座標卡重疊處轉移映射連續。但「連續」太弱，無法做微積分——你無法對一個僅僅連續的函數求導。光滑結構就是那層額外的記帳工具，讓你能明確指出 M 上哪些函數可微，而且無論你恰好站在哪張座標卡裡，這個判定都一致。
具體而言，光滑結構是一個極大圖冊，其所有轉移映射作為 R^n 開集之間的映射都是 C^infinity（無窮可微）的。「極大」意指我們已把每張與初始座標卡光滑相容的座標卡都納入，因此這個結構不依賴於起始圖冊的任意選擇。一旦固定，函數 f: M -> R 若其座標表達式（f 與每張座標卡之逆的合成）是 R^n 上的一般光滑函數，便稱為光滑；連鎖律保證此判定在每張重疊座標卡中都相同。
在此層次有兩點誠實的提醒。其一，光滑結構確實是額外的資料：拓樸流形未必容許任何光滑結構（這類流形在四維以上確實存在），而即便容許，結構也未必唯一。七維球面承載 28 種不同的光滑結構（米爾諾的奇異球面），而 R^4 承載不可數多種。因此光禿禿的「流形」一詞本身絕不意味「光滑」——務必說清你指的是哪一種。其二，把 C^infinity 換成 C^k 或實解析會給出不同且更弱或更強的概念；選 C^infinity 是標準做法，因為它在微積分所有運算下封閉，又夠靈活以容許單位分解。
在圓 S^1 上，兩張座標卡——分別從北極與南極作球極投影——在 S^1 去掉兩點處重疊，而那裡的轉移映射是 t -> 1/t，是 R 去掉 0 上的光滑函數。因此這兩張座標卡光滑相容，並生成 S^1 上的標準光滑結構。
轉移映射光滑的相容座標卡定義一個光滑結構。
不要把拓樸流形與其光滑結構混為一談：同一個底空間可承載不等價的光滑結構，有些則一個都沒有。「光滑流形」總是指一對（空間，選定的光滑結構）。