相伴叢（associated bundle）

一旦你有了一個主 G-叢——一個對稱叢——你就能用群所作用的任何空間製造出一個伴隨的叢。主叢提供扭轉（你在底空間移動時纖維如何黏合），而選定的 G 在模型纖維 F 上的作用提供內容。結果就是相伴叢：它扭轉得和 P 一模一樣，但纖維是 F 的副本。於是由一個標架叢，你便得到切叢、所有張量叢、密度叢、旋量叢等等——全都共用 P 的黏合。

精確地說：給定主 G-叢 P -> M 與 G 在某空間 F 上的左作用，作 P times F 並對對角 G-作用 (p, f) ~ (p.g, g^{-1}.f) 取商。此商記為 P times_G F，是 M 上以 F 為纖維的纖維叢，其轉移函數是 P 的轉移函數 g_{ij}: U_i cap U_j -> G 在 F 上作用下的像。當 F = R^k 且 G 經由線性表示 rho: G -> GL(k) 作用時，相伴叢就是一個向量叢——這正是結構群的表示如何化為向量叢的途徑。黏合中那個扭轉的 g^{-1}，使得相伴叢的截面對應於等變函數 P -> F，這是與它們計算的清爽方式。

這個構造是由單一主叢產生每個幾何物件的引擎：GL(n) 的標準表示給出 TM、其對偶給出 T*M、張量冪給出張量場、行列式表示給出密度／定向線叢，而對一個自旋結構，旋量表示給出旋量場。在規範理論中，物質場是相伴於規範群表示之叢的截面。一句口號：主叢加表示等於向量叢，而轉動相伴叢這部曲柄，正是單一個對稱叢如何生成整座物理與幾何場的動物園。