向量叢（vector bundle）
向量叢是纖維為向量空間的纖維叢，其黏合保持線性結構。激發性的例子是流形的切叢：在 M 的每一點 p 上坐落著切空間 T_p M，一個維數為 n 的真正向量空間，這些拼成 TM。你可以把坐落於同一點上的切向量相加並縮放，而這些運算光滑地變化——這正是向量叢所要求的全部。
精確地說：秩為 k 的實（或複）向量叢是一個光滑滿射 pi: E -> M，其纖維 E_p = pi^{-1}(p) 帶有 k 維向量空間的結構，並配有在每根纖維上是線性同構的局部平凡化 phi: pi^{-1}(U) -> U times R^k。當兩個平凡化重疊時，平凡化的轉換由轉移函數 g_{UV}: U cap V -> GL(k, R) 給出——黏合資料落在一般線性群裡，正是因為我們堅持黏合是線性的。截面是在每根纖維中光滑地選一個向量，s: M -> E 且 pi 與 s 的合成等於恆等映射；零截面恆存在，但處處非零的截面未必存在（你梳不平一個有毛的球面）。
向量叢無處不在：切叢與餘切叢、微分形式叢、子流形的法叢，以及攜帶幾何與拓樸資訊的線叢。它們的扭轉由示性類度量——陳類（複）、龐特里亞金類（實）、歐拉類（定向）。一個誠實的警語：秩 k 的叢為平凡（全域乘積 M times R^k）的充要條件，是它容許 k 個處處獨立的截面，即一個全域標架；大多數有趣的叢都沒有，而這個失敗正是整套理論的內容。
在 2 維球面 S^2 上，切叢 TS^2 的秩為 2 但非平凡：由毛球定理，每個連續切向量場都必須在某處消失，故無處處非零的截面，因而無全域標架，於是 TS^2 不是 S^2 times R^2。其非平凡性由歐拉類偵測，後者積分得到歐拉示性數 2。
TS^2 上沒有全域標架——這個扭轉是真實的，正是歐拉類所計數的。
每個向量叢都有零截面，所以向量叢從不「空」，但處處非零截面的存在性是個真正的拓樸問題。把「有許多截面」混為「是平凡的」是常見的失誤：平凡需要由 k 個獨立截面構成的完整全域標架，而非只要一個。