歐拉類（Euler class）
/ OY-ler /
歐拉類度量一個定向叢是否有處處非零的截面——若沒有，又失敗得多嚴重。想想曲面上的向量場：毛球定理說你梳不平一個球面，每個場都必有零點，而歐拉類正是帶符號計數那些零點的不變量。對閉曲面的切叢，那個計數恰是歐拉示性數——名稱由此而來——這也是為何環面（歐拉示性數 0）可梳，球面（歐拉示性數 2）不可梳。
精確地說，M 上秩 k 之定向實向量叢 E 的歐拉類 e(E) 住在 H^k(M; Z) 中；它定義為處處非零截面的障礙，等價地是試圖把截面延拓過 M 各胞腔時遇到的首要障礙，又等價地（龐加萊對偶）是一般截面零點集的同調類。對偶數秩的定向叢，陳-韋伊經由 Pfaffian 給出曲率代表：e(E) 由 (1/2pi)^{k/2} Pf(Omega) 代表，即反對稱曲率矩陣的 Pfaffian——一個閉形式，其在閉定向流形上的積分是整數。Pfaffian 是反對稱矩陣行列式的「平方根」，這就是為何歐拉類平方得到最高的龐特里亞金類，e(E)^2 = p_{k/2}(E)，並細化了它。把複叢看成實定向叢時，歐拉類等於最高的陳類 c_k。
歐拉類是局部幾何與全域拓樸之間的橋樑。把它的 Pfaffian 代表在閉曲面上積分，還原出高斯-博內定理：高斯曲率的積分等於 2 pi 乘以歐拉示性數。在更高維，廣義的高斯-博內-陳定理用 Pfaffian 做同樣的事。兩個誠實的警告：歐拉類只對定向叢有定義——沒有定向你只得到模 2 約化，即最高的史蒂弗-惠特尼類；而它只在偶數秩經由 Pfaffian 定義，因為奇數秩的定向叢歐拉類恆為零（一般截面有餘維等於秩的零點集，在奇數秩迫使抵消）。歐拉類比龐特里亞金類更細，而非它們的函數。
在閉定向曲面上，切叢的歐拉類積分得歐拉示性數：e(TS) 在 S 上的積分 = chi(S)。Pfaffian 代表是 (1/2pi) K dA，其中 K 是高斯曲率，所以這正是高斯-博內：K dA 的積分 = 2 pi chi(S)。對 2-球面 chi = 2，故總曲率為 4 pi；對環面 chi = 0，這與處處非零切場的存在（你可以梳平環面）一致。
高斯-博內就是切叢的歐拉類：總曲率計數歐拉示性數。
歐拉類需要一個定向——反轉定向它就變號；沒有定向你只有它的模 2 像，即最高的史蒂弗-惠特尼類。它也只對偶數秩的叢非平凡（奇數秩的定向叢歐拉類為零）。而它比龐特里亞金更細：e^2 = 最高龐特里亞金類，所以 e 是攜帶嚴格更多資訊的「平方根」。