纖維叢（fiber bundle）

想像一把髮刷。平直的握把上每一點都豎著一根刷毛，整把刷子就是握把連同所有刷毛。纖維叢把這個想法精確化：給定一個底空間 B，在 B 的每一點上都黏上某個固定空間 F（纖維）的一份相同副本。在局部上，結果看起來像一個無趣的乘積，即 B 的一小塊乘以 F，但當你沿著 B 繞行時，這些片塊可能以某種扭轉黏合，因此整體 E 未必是全域乘積 B 乘以 F。莫比烏斯帶是典型的扭轉例子：局部上是一條帶（一個區間乘以一個區間），但繞一整圈後纖維被翻轉了。

形式上，纖維叢是一個光滑滿射 pi: E -> B（E 是全空間，B 是底空間）連同一個纖維 F，使得 B 的每一點都有一個鄰域 U，配上一個與投影交換的微分同胚 phi: pi^{-1}(U) -> U times F——也就是說 phi 把纖維 pi^{-1}(b) 映到 {b} times F。這就是局部平凡性條件：放大來看，纖維叢只是個乘積。這些映射 phi 稱為局部平凡化，當兩個局部平凡化重疊時，重新黏合纖維的配方就是轉移函數。若單一個平凡化能覆蓋整個 B，則此叢為平凡叢。

為什麼重要？凡是隨點光滑變化的結構，纖維叢都是其語言：流形上的切空間（切叢）、旋轉的標架（標架叢）、物理中的場組態（規範場）。關鍵在於局部平凡是廉價的，全域平凡卻不是——把一個叢「解扭」的障礙正是示性類。初學者常犯的錯誤是以為局部是乘積就全域是乘積；莫比烏斯帶說明這是錯的，而偵測這種失敗正是本主題的大半內容。